1.2. Тензорная алгебра и некоторые формулы тензорного анализа

Тензоры обозначаются заглавными латинскими или греческими буквами, иногда строчными, например, , , , , . Компоненты тензоров – теми же буквами с индексами. Число индексов при компоненте определяет ранг тензора. Вектор по числу индексов можно рассматривать как тензор первого ранга, скаляр – как тензор нулевого ранга. В дальнейшем будут применяться тензоры второго ранга (диады), у компонент которых два индекса –  и т. д.

Тензор второго ранга Т задается совокупностью девяти величин (компонент), располагаемых в матрице (первый индекс - номер строки, второй - столбца):

Тензор  называется сопряженным с  , если . Тензор , обладающий свойством , называется самосопряженным, или симметричным. Значения компонент такого тензора не зависят от порядка расположения индексов, т. е.  . Тензор  антисимметричен, если  или  и, следовательно, ,  (суммирование по  здесь не предполагается).

Часто употребляется так называемая тензорная единица  – симметричный сферический тензор с компонентами, не зависящими от выбора осей координат:

Знаки операций сложения и вычитания тензоров, умножения тензора на скаляр – обычные. Различные виды произведений двух тензоров обозначаются следующим образом: скалярное - двумя точками между сомножителями, векторное – наклонным крестом, тензорное произведение двух векторов – смежным расположением сомножителей, без знака между ними.

При переходе от одной системы координат  к другой  компоненты тензора преобразуются подобно произведениям компонент (проекций) двух векторов:

Сложение, вычитание тензоров, умножение тензора на скаляр производится по формулам

Разложение тензора на симметричную и антисимметричную части:

Умножение вектора на тензор или тензора на вектор образует соответственно векторы  и  с проекциями (компонентами)

(при сохранения порядка расположения сомножителей в левой в правой частях индексы суммирования  расположены по соседству). Из определения операций (5) вытекают следующие свойства:

где вектор , эквивалентный антисимметричному тензору , имеет компоненты

Скалярное произведение двух тензоров  дает скаляр

Векторное произведение двух тензоров  определяет вектор с проекциями

(круговая перестановка индексов , суммирование по  ).

Условие симметрии тензора :

Мультипликативный тензор, диада  получается в результате диадного умножения двух векторов   и  :

Тензорное произведение двух тензоров  определяет тензор

Инварианты тензора 2-го ранга:

Разложение тензора  на сферическую  и девиаторную  части:

Дифференциальная диада, или дифференциальный тензор обозначается  (условно – градиент вектора), сопряженная с нею диада – , дивергенция поля тензора   –  .

Дифференциальная диада  и сопряженная с ней диада  определены следующим образом:

Тензоры  и  можно разложить на симметричную и антисимметричную части:

Симметричная часть  называется тензором скоростей деформаций  поля вектора  и выражается равенством

Дивергенция тензора  определена равенствами

Тензорные аналоги интегральных формул раздела 1.1 имеют вид